En esta sección voy a explicar y comentar el concepto de dimensión fractal. La dimensión topológica es la idea habitual de dimensión (la Euclídea), pero los fractales pueden tener valores de dimensión no enteros. Por tanto no es una herramienta adecuada para su estudio.

Pero primero aclaremos lo que es la dimensión topológica. Una línea tiene dimensión 1 porque cualquier punto sobre ella puede caracterizarse con un solo punto, por ejemplo la distancia a un punto de referencia. De igual forma una superficie necesita dos números para localizar un punto sobre ella y un volumen necesita tres.

Una definición matemática de la dimensión se basa en la forma en que el tamaño del objeto crece cuando aumenta la dimensión lineal. La línea dobla su tamaño, la longitud, cuando se dobla la dimensión lineal. En cambio, en el mismo caso, una superficie cuadruplica su tamaño (área) y un volumen se multiplica por 8. La expresión matemática que relacciona el tamaño S del objeto con la escala L es:

S = L^D

donde D es la dimensión. De aquí podemos despejar y calcular la dimensión D en función de S y L:

D = log S / log L

Veamos ahora qué ocurre cuando trabajamos con fractales.

Dimensión fractal: podemos decir que es el límite del cociente entre la variación del tamaño y el cambio de escala, ambos en escala logarítmica, cuando la escala de medida tiende a 0.

El problema es definir qué son el tamaño y la escala de medida en un objeto tan complejo como un fractal, y además cómo hallar la media de estos cambios, que no son iguales para cada parte del objeto. Por tanto hay varias formas de calcular la dimensión fractal. Es sencilla de calcular para fractales no muy complicados, como las curvas fractales que se ven en los ejemplos de la siguiente sección.