Veamos ahora con dos ejemplos que la dimensión topológica y la de Hausdorff Besicovich coinciden para objetos normales:

Ejemplo 1 - un segmento. Mide "una longitud". Pero si lo mido con un instrumento con el doble de precisión (L=2) obtengo S=2 segmentos. Por tanto:

D = log 2 / log 2 = 1

Según la definición de Mandelbrot, la dimensión fractal excede la topológica. Por tanto un segmento no es fractal, pues no satisface la condición.

Ejemplo 2 - un cuadrado. Lo escalo con L=2 y obtengo S=4 partes similares a la original (un área cuatro veces mayor):

D = log 4 / log 2 = 2

D=2, que es la dimensión de una superficie plana.

Ejemplo 3 - Curva de Koch: se genera a partir de un segmento que se divide en 3 (L=3) partes iguales y se sustituyen por 4 (S=4) en cada iteración. Eso arroja D=1.2619 ¡La dimension no es un entero! Una dimensión no entera no es de extrañar para los fractales. Y comprobamos que excede la dimensión topológica (que es 1 por ser una línea). Por tanto es un fractal.

Ejemplo 4 - Curva de Peano: para esta curva fractal tenemos L=3 y S=9, según el esquema de construcción siguiente: D = log 9/ log 3= 2 Tiene la misma dimensión que una superficie plana ¡Rellena el plano! Es una propieded interesante de esta curva fractal: al continuar el proceso hasta el infinito todos los puntos del plano pertenecen a la curva de Peano. En este caso la dimensión es entera, pero sigue excediendo la topológica, que es 1. Espero tener más sobre este tema pronto.